Queda livre, a pena e a bola de boliche
Se você largar, ao mesmo tempo e da mesma altura, uma moeda e um pedaço de papel, qual deles chega primeiro no chão ?
A queda de corpos é um tema antigo na Física. Um corpo cai pois a força da gravidade, que aponta para o centro da Terra, está agindo sobre ele. Esse é o entendimento atual deste fenômeno e é devido a Isaac Newton. Mas nem sempre foi assim. Contribuições importantes para se entender esse movimento foram feitas por Galileu Galilei usando um plano inclinado.
Veja aqui como Galileu fez isso. A partir de seus experimentos, Galileu concluiu que, se não houvesse nada que atrapalhasse o movimento, dois corpos levariam o mesmo tempo para chegarem ao chão. Galileu descobriu a lei empírica que a velocidade adquirida pelo corpo é igual a aceleração multiplicada pelo tempo que passou desde o momento em que o corpo foi solto. Descobriu também que a distância percorrida pelo corpo era proporcional a esse tempo elevado ao quadrado (\(d \sim t^2\)). Esse tipo de movimento é o que chamamos de queda livre.
No vídeo a seguir, o físico Brian Cox vai a uma das maiores câmaras de vácuo do mundo para comprovar o movimento de queda livre.
O mesmo experimento também foi realizado em uma transmissão ao vivo pela televisão em 1971. O astronauta David Scott conduziu o famoso experimento de queda de penas e martelo de Galileu na superfície da lua durante o último passeio lunar da Apollo 15. Na lua há pouca atmosfera, temos praticamente vácuo, então os objetos devem cair na mesma velocidade e chegar juntos ao solo. Observe o vídeo com o experimento.
A segunda lei de Newton estabelece que se um corpo está sobre a ação de uma força que é a resultante de todas as forças que estão agindo sobre ele, então essa força irá acelerar um corpo, na direção dessa força, com uma aceleração que é a razão entre a força e a massa do corpo. Expressando essa lei matematicamente, temos
\[ ma=F_{\text{resultante}}\]
Na condição de que a única força agindo sobre o corpo é a força da gravidade, como no caso do experimento realizando na gigante câmara de vácuo mostrado no vídeo acima, temos que \(F_{\text{resultante}=-ma}\), onde \(g\) é a aceleração da gravidade que vale aproximadamente 9.8 \(m/s^2\). O sinal negativo indica que força aponta para baixo tomando como base o eixo \(z\) apontando para cima. O valor de \(g\) depende do lugar onde você se encontra na Terra (latitude e altura em relação ao nível do mar). Se houvesse outras forças agindo no corpo como, por exemplo, a força de atrito causado pela presença do ar, então teríamos que \(F_{\text{resultante}=-ma+F_{\text{atrito}}}\) e, nesse caso, não teríamos mais a queda livre. Dependendo das condições, a força atrito devido ao ar não pode ser removida. Mas ela é bem menor que a força da gravidade, ou seja,
\[F_{\text{resultante}=-ma + \tiny{F_{\text{atrito}}}}\]
E, nesse caso, o movimento pode ser descrito razoavelmente bem como se fosse o de queda livre.
Escrevendo a aceleração \(a\) como a segunda derivada da posição \(z\) do corpo ao longo do eixo \(z\) em relação ao tempo \(t\), a segunda lei de Newton para o fenômeno de queda livre fica
\[ \displaystyle m\frac{d^2z}{dt^2} = -mg\],
ou ainda,
\[ \displaystyle \frac{d^2z}{dt^2} = -g\].
Essa equação é uma equação diferencial. Ou seja, a solução não é um número, como na equação algébrica \(x^2+2x-1=0\) (que aqui pode ser encontrado pela fórmula de Bhaskara), mas sim uma função \(z(t)\).
A solução para a equação diferencial acima, para o caso de um corpo largado (velocidade inicial zero) a partir de uma altura \(h\), é \(\displaystyle z(t)=h-\frac{1}{2}gt^2\). Desta solução vemos que \(\displaystyle z(t)\sim t^2\) e que \(\displaystyle \frac{dz}{dt}=v(t)=-gt\), os resultados obtidos empiricamente por Galileu.
DESAFIO
Retomando a pergunta inicial de qual corpo chega primeiro ao chão, a moeda ou o pedaço de papel, vocês já devem saber agora a resposta.
Mas como demonstrar isso sem o uso de uma câmara de vácuo ?
Quem souber como fazer isso, envie um email para coluci at unicamp.br para explicar como fazer.
Se você não sabe, envie o email para descobrir uma maneira de fazer isso.
Para os curiosos
A acelelaração da gravidade pode ser medida por diversas técnicas. Neste trabalho, Coluci, Paulino, Souza e Vasconcelos determinaram \(g\) em experimentos de queda livre, a partir de medições do tempo de queda de uma esfera de metal.
Aqui Castellanos, Alvarez-Salazar e Holanda mediram \(g\) usando o pêndulo físico. E aqui, medições muito precisas foram feitas por Peters, Chung e Chu usando um sofisticado interferômetro atômico.
Um pouco da história sobre as medições de \(g\) pode ser vista em The Measurement of Little g: A Fertile Ground for Precision Measurement Science (2005) de J. E. Faller.