Parábola, parabolóide e foco

A antena parabólica é uma parte de um parabolóide, ou seja, de uma superfície no espaço tridimensional cujos pontos (\(x,y,z\)) satisfazem a equação

\[ ax^2+by^2+cz+d=0.\]

A seção transversal do parabolóide, ao longo de seu eixo principal (eixo \(z\) na equação acima), é uma parábola. O parabolóide pode ser obtido a partir da revolução da parábola ao longo do eixo principal.

Modifique o valor de \(n\) no app a seguir para observar a construção do parabolóide (autor Vitor Coluci).

A parábola na sua forma reduzida (simétrica em relação ao eixo \(y\) e com o vértice em (0,0) ) pode ser descrita pela equação

\[y=ax^2,\]

onde \(x\) e \(y\) são as coordenadas de pontos do plano cartesiano que pertencem à parábola. O valor de \(a\) está relacionado com a posição de um ponto especial, chamado foco. Este ponto pertence à parábola e está localizado em (\(\displaystyle 0,\frac{1}{4a}\)). A parábola e o parabolóide possuem uma propriedade na qual um feixe que incide paralelamente ao eixo de simetria, será refletido na direção do foco.

Modifique o valor de \(x_0\) no app a seguir para visualizar essa propriedade (autor Vitor Coluci). A linha roxa representa um feixe incidente (paralelo ao exio da parábola) e a linha verde representa o feixe refletido. A linha tracejada representa a reta tangente à parabola no ponto de reflexão.

Assim, uma das propriedades mais úteis que utilizamos em muitas aplicações com parábolas é justamente a reflexão de feixes paralelos ao eixo de simetria na direção do foco. Essa propriedade é utilizada em faróis, LEDs, antenas parabólicas, radiotelescópios e até mesmo fornos solares.

Para os curiosos

Quer se aprofundar nos detalhes matemáticos da parábola ? Veja então Parábola e Parabolóide do site Derivando a Matemática.

Veja também esse curioso prédio localizado em Londres e sua relação com o parabolóide.