Tábua de Galton

Autor

Vitor Coluci

A Tábua de Galton é um modelo da teoria dos erros. Esta teoria tem como objetivos determinar o melhor valor possível para uma grandeza (valor experimental) a partir de medições e determinar sua incerteza. É muito usada para descrever fenômenos da Física. A Tábua é usada também para exemplificar a distribuição normal.

Quando a bolinha de gude é solta do topo da tábua e colide com os pregos, a bolinha pode ir para a direita (com probabilidade $p$) ou para a esquerda (com probabilidade $q=1-p$). Vamos supor que a bolinha colide $N$ vezes com pregos. Em qual das regiões da parte de baixo de tábua ela irá cair ? Como este processo é probabilístico, devemos também nos perguntar qual é então a probabilidade da bolinha ter colidido $N$ vezes e cair na divisória $m$ ?

Se a bolinha fez colisões que a levaram $n_1$ vezes para a direita e $n_2$ vezes para a esquerda ($N=n_1+n_2$), então a probabilidade de uma sequência de colisões será

\[(pppp\ldots p)(qqqq\ldots qq)=p^{n_1}q^{n_2}.\]

Como o número de sequências de colisões é $\displaystyle \frac{N!}{n_1!n_2!}$, então a probabilidade da bolinha colidir e se deslocar $n_1$ para a direita e $n_2$ para a esquerda (num total de N colisões) é dada pela distribuição binomial:

\[\mathcal{P}_N(n_1)=\displaystyle \frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}.\]

Interaja com a aplicação da Tábua de Galton a seguir (Autor Thiago V. Batalha) !

O número de colisões que a bolinha sofre até chegar às divisórias depende do número de linhas de pregos que a tábua tem, que corresponde então ao valor de $N$. Com $\mathcal{P}_N(n_1)$ podemos calcular a probabilidade da bolinha cair em cada uma das divisórias. Por exemplo, para a divisória do meio, a bolinha deve ter colidido e ter ido para a direita o mesmo número de vezes de ter colidido e ter ido para a esquerda, ou seja, $n_1=n_2$. Considerando que a probabilidade é a mesma de ir para a direita ou de ir para a esquerda, $p=q=1/2$, então

\[\mathcal{P}_N(n_1)=\displaystyle \frac{(2n_1)!}{n_1!n_1!}(\frac{1}{2})^{n_1}(\frac{1}{2})^{n_1}.\]

Para termos um noção da forma de $\mathcal{P}_N(n_1)$, podemos determinar onde fica o máximo dessa distribuição, ou seja, qual divisória concentrará o maior número de bolinhas se elas forem soltas do centro da tábua, no topo. Para isso, calcularemos primeiro o valor de $ ln(_N(n_1)) $, ou seja,

\[\ln (\mathcal{P}_N(n_1)) = \ln N! -\ln n_1! - \ln n_2 +n_1\ln p -n_2 \ln q\]

Considerando uma tábua de Galton muito grande, ou seja, com muitas linha de pregos $N>>1, n_1>>1, n_2>>1$, podemos usar a aproximação dada pela fórmula de Stirling: $\ln n! \simeq n\ln n$ para $n>> 1$. Assim,

\[\ln (\mathcal{P}_N(n_1)) = N \ln N -n_1 \ln n_1 - (N-n_1)\ln (N-n_1) +n_1 \ln p -(N-n_1) \ln q.\]

Ao procuramos o máximo de $\ln (\mathcal{P}_N(n_1))$ fazendo

\[\displaystyle \frac{d\ln (\mathcal{P}_N(n_1))}{d n_1}=-1 -\ln n_1 + 1 + \ln (N-n_1) = 0,\]

o que resulta em $n_1= N/2$, ou seja, a probabilidade é máxima quando $n_1$ é a metade de $N$, o que corresponde a bolinha cair na divisória central.

Ainda na situação que $N>>1$ e $Npq>>1$, pode-se mostrar que $\mathcal{P}_N(n_1)$ tende à distribuição normal (gaussiana) $P(x)$ dada por

\[\displaystyle P(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}],\]

onde $\mu=np$ e $\sigma=\sqrt{\mu pq}$.

Interaja com a aplicação a seguir para ver como os parâmetros $\mu$ e $\sigma$ influenciam a distribuição gaussiana (Autor George Sturr).

Para os curiosos

Quer saber mais sobre Francis Galton? Veja então “Sir Francis Galton e os extremos superiores da curva normal” (2011) de Geraldo Salgado-Neto e Aquiléa Salgado.

Para aprender um pouco mais sobre a conexão entre a tábua de Galton e a teoria de erros, veja o trabalho de Paulo Lima Junior e Fernando Lang da Silveira “Discutindo os conceitos de erro e incerteza a partir da tábua de Galton com estudantes de graduação : uma contribuição para a incorporação de novas abordagens da metrologia ao ensino de física superior” (2011).

Veja também como a Tábua de Galton foi usada por Atila Iamarino para analisar a meritocracia.