Loop e conservação de energia
Provavelmente você já ouviu falar de montanha russa e de globo da morte. Quem já andou numa montanha russa deve ter sentido aquele frio na barriga ao descer trechos muito rápido. Mas também experimentou trocas de energia: da energia potencial para a cinética e vice-versa.
A montagem acima permite ilustrar e verificar o processo de conservação da energia mecânica de um sistema.
Ao largar a bolinha branca de algum ponto à esquerda do loop, ela vai seguir a trajetória imposta pelo guia de metal. No entanto, dependendo do ponto onde você largá-la, ela pode não ser capaz de completar toda a volta no loop.
Vamos supor que largamos a bolinha de um ponto onde a altura em que ela é largada, medida em relação à base preta, tenha um valor de \(H\). Neste ponto, que chamaremos de \(A\), ela possui apenas energia potencial. Ela obteve esta energia a partir de você, que a levantou até aquele ponto. Desta forma, a energia total mecânica da bolinha em \(A\) vale \(mgH\), onde \(m\) é massa da bolinha e \(g\) a aceleração da gravidade.
Agora, vamos considerar um outro ponto do loop. Este ponto, ponto \(B\), fica no lugar mais alto do loop. Neste ponto, a energia mecânica da bolinha terá, além da energia potencial \(mgh\), também uma energia cinética pois ela passará por este ponto com uma velocidade \(v\). Expressando isso por meio da conservação da energia mecânica teremos:
\[\displaystyle E_A=E_B \rightarrow mgH = mgh + \frac{mv^2}{2},\]
onde \(h=2R\) (\(R\) é o raio do loop).
Queremos determinar agora em que altura \(H\) devemos largar a bolinha para que ela complete toda a volta no loop. Para isso, precisamos analisar as forças que agem na bolinha quando ela se encontra no ponto \(B\). Neste ponto, a bolinha sentirá a força peso e a força normal, ambas apontando para baixo. Se ela se desprender do loop, a força normal desaparecerá pois o contato com o guia metálico não existirá mais. Assim, iremos impor esta condição como a condição que a bolinha deve ter para não se desprender do loop.
Nesta situação limite, termos que a única força agindo na bolinha será a força da gravidade. Esta força será a força resultante na bolinha. Assumiremos também que o loop tem a forma de uma circunferência e, assim, a bolinha descreve um movimento circular ao percorrer o loop. Aplicando a segunda lei de Newton nesta situação, teremos:
\[ \displaystyle F_{\text{resultante}}=ma \rightarrow mg = m \frac{v^2}{R} \rightarrow v^2 = gR,\]
onde \(v^2/R\) é a aceleração centrípeta.
Se substituirmos o valor de \(v^2\) na equação da conservação de movimento teremos
\[\displaystyle mgH = mg(2R) + \frac{mgR}{2} \rightarrow H= \frac{5R}{2}.\]
Ou seja, se largamos a bolinha numa altura equivalente a \(2.5R\) (ou acima disto), ela será capaz de completar toda a volta do loop.
Durante o movimento da bolinha, parte da energia mecânica é convertida em outras formas de energia. Por exemplo, parte é convertida em som (energia sonora) gerada pelo atrito da bolinha com o guia metálico. Isso faz com que o valor da altura mínima para a bolinha completar a volta seja ligeiramente maior que \(2.5R\). Embora a energia mecânica não seja conservada neste caso, a energia total (mecânica + outras formas) é conservada.
Se você ainda não foi numa montanha russa, sinta um pouquinho de como é assistindo o vídeo a seguir!
DESAFIO
Hoje em dia, com a tecnologia contida nos celulares, podemos usá-los como acelerômetros. Que tal levar um celular numa montanha russa e coletar como varia a aceleração ao longo do trajeto ? Se um dia você fizer isto, envie os dados para coluci at unicamp.br para colocarmos aqui nesta página.
Para os curiosos
Quer saber um pouco mais da Física associada às montanhas russas ? Veja então o artigo Physics and roller coasters—The Blue Streak at Cedar Point (1991) de Robert R. Speers.