Elipse e o movimento dos planetas

A elipse é uma curva que é membro da família da Cônicas.  Uma das leis de Kepler está relacionada com a elipse: os planetas orbitam em torno do Sol em trajetórias elípticas com o Sol em um dos focos. A elipse tem associado a ela dois pontos especiais (mas que não pertencem a ela) chamado: focos.  Vamos supor que estes focos estejam localizando ao longo do eixo \(x\), simetricamente dispostos em relação ao eixo \(y\) nas coordenadas \(F_1=(-c,0)\) e \(F_2=(c,0)\). Desta forma, a distância entre os focos, \(dist(F_1,F_2)=2c\).

A determinação dos pontos \(P\) que pertencem à elipse é feita a partir da seguinte condição:

\[dist(P,F_1)+dist(P,F_2) = 2a,\]

onde \(2a\) é uma constante positiva para todos pontos \(P\) que deve obedecer a \(a>c\).

Se as coordenadas do ponto \(P\) forem \(x\) e \(y\) então a condição acima levam à seguinte equação que relaciona estas coordenadas:

\[\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1,\]

onde \(b^2\equiv a^2-c^2\). Na elipse, o valor de \(a\) corresponde ao semi-eixo maior e o valor de \(b\) ao semi-eixo menor.

Você pode explorar esta equação para ver as elipses associadas por meio da aplicação a seguir (Autor Tim Brzezinski).

Mas se você estiver sozinho numa ilha deserta e precisar desenhar uma elipse (após ter encontrado água e comida…), você poderá fazer isso com uma montagem similar a indicada a seguir. Na montagem, dois pregos estão fixados numa madeira e neles está preso um barbante. No barbante há ainda um anel metálico. Coloque um lápis ou giz dentro do anel e, mantendo o barbante sempre esticado, percorra a madeira para desenhar a elipse. O comprimento do barbante corresponde ao valor de \(2a\) e a distância entre os pregros ao valor de \(2c\).

Veja como funciona o processo na aplicação a seguir (Autor Audrey McLaren).

Para os curiosos

Se você quiser saber mais sobre a relação entre o movimento dos planetas e a elipse, assista o vídeo a seguir.